高数题要详解设X1=1,X(n+1)=√(3+2*Xn)n=1,2……证数列［Xn]收敛并求极限

Question

高数题 要详解
设X1=1,X(n+1)=√(3+2*Xn) n=1,2……
证数列［Xn]收敛并求极限

Answer 1

首先证明该数列有界
x1x1,设x(n)>x(n-1),即x(n)-x(n-1)>0,
而[x(n+1)]²-[x(n)]²=√(3+2*Xn)-√(3+2*Xn-1)=2[x(n)-x(n-1)]/{√(3+2*Xn)+√(3+2*Xn-1)}
故此有[x(n+1)]²-[x(n)]²>0,从而x(n+1)>[x(n),即该数列是单调增加的.所以极限存在.
设极限为 s
对 X(n+1)=√(3+2*Xn)两端取极限,有s=√(3+2*s),s²=3+2s,解得s=-1(舍去),s=3
求得数列的极限是 3