已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n/n+1)an,求an的通向公式,用叠加法

Question

已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n/n+1)an,求an的通向公式,用叠加法

Answer 1

法一：构造等比或等差数列.
a(n+1)=nan/(n+1)
(n+1)a(n+1)=nan,1×a1=1.
∴数列{nan}是首项为1,公比为1的等比数列.
或数列{nan}是首项为1,公差为0的等差数列.
nan=1×a1=1,故an=1/n.
综上,数列{an}的通项公式为1/n.
法二：累加
由上得(n+1)a(n+1)=nan.
从而有(n+1)a(n+1)-nan=0.
nan-(n-1)a(n-1)=0
(n-1)a(n-1)-(n-2)a(n-2)=0
.
2a2-a1=0
a1=1
累加得nan=1,故an=1/n.
综上,数列{an}的通项公式为an=1/n.
法三：累乘
a(n+1)=nan/(n+1)
a(n+1)/an=n/(n+1)
an/a(n-1)=(n-1)/n
.
a3/a2=2/3
a2/a1=1/2
a1=1
累乘得an=1/n
综上,数列{an}的通项公式为an=1/n.