已知数列an满足递推公式:a（n+1）-2/an=an-2/a（n-1）（n>=2）,a1=1,a2=31、若bn=1/(1+an),求数列{bn}的通项式2、求证「a1-2」+「a2-2」+.+「an-2」上式中“「」”代表绝对值

Question

已知数列an满足递推公式:a（n+1）-2/an=an-2/a（n-1）（n>=2）,a1=1,a2=3
1、若bn=1/(1+an),求数列{bn}的通项式
2、求证
「a1-2」+「a2-2」+.+「an-2」
上式中“「」”代表绝对值

Answer 1

首先用迭代的办法可以知道a(n+1)-2/an=1,即a(n+1)=(an+1)/an,设x,a(n+1)+x=(x+1)*(an+2/(x+1))/an,令x=2/(x+1),解得x=1或-2,代入上式有一式a(n+1)+1=2(an+1)/an,二式a(n+1)-2=(2-an)/an,一式和二式左右两边分别作商,有(a(n+1)+1)/(a(n+1)-2)=-2*(an+1)/(an-2),于是数列(an+1)/(an-2)是个等比数列,代入初值得(an+1)/(an-2)=(-2)^n,则an=(1-(-2)^(n+1))/((-2)^n-1),
所以bn=(1-(-2)^(-n))/3
「an-2」的前n项和小于3/2^n的前n项和,而3/2^n的前n项和收敛于3,所以「a1-2」+「a2-2」+.+「an-2」