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如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AC,PC⊥BC,M为PB的中点,D为AB的中点,且△AMB为正三角形.(1)求证:BC⊥平面PAC;(2)若BC=4,PB=10,求四棱锥C-ADMP的体积.
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/908fa0ec08fa513d99bc36223e6d55fbb2fbd93c.jpg)
(1)求证:BC⊥平面PAC;
(2)若BC=4,PB=10,求四棱锥C-ADMP的体积.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:在正△AMB中,D是AB的中点,∴MD⊥AB.
∵M是PB的中点,D是AB的中点,∴MD∥PA,故PA⊥AB.
又PA⊥AC,AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,
∴PA⊥平面ABC.
∵BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC,
又PC⊥BC,PA∩PC=P,PA,PC⊂平面PAC,
∴BC⊥平面PAC.…(8分)
(2)∵△AMB为正三角形,∴AB=MB=5.…(9分)
∵BC=4,BC⊥AC,∴AC=3.
∵PB=10,M是PB的中点,∴MB=5.
∵△AMB为正三角形,∴AB=MB=5.…8分
∵BC=4,BC⊥AC,∴AC=3.
∴S△BCD=
S△ABC=
×
×3×4=3.…9分
∵MD=
=
,
由(1)知MD∥PA,∴MD⊥DC.
在△ABC中,CD=
AB=
,
∴S△MCD=
×
×
=
.…10分
∴VM-BCD=VB-MCD=
×3×
=
,
在Rt△PCB中,PC=
=
,PA=2MD=5
故VP-ABC=
×
×AC×BC×PA=
×
×3×4×5
=10
∴四棱锥C-ADMP的体积=VP-ABC-VM-BCD=10
-
=
…12分.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d53f8794a4c27d1eb3f4603818d5ad6edcc4387f.jpg)
∵M是PB的中点,D是AB的中点,∴MD∥PA,故PA⊥AB.
又PA⊥AC,AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,
∴PA⊥平面ABC.
∵BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC,
又PC⊥BC,PA∩PC=P,PA,PC⊂平面PAC,
∴BC⊥平面PAC.…(8分)
(2)∵△AMB为正三角形,∴AB=MB=5.…(9分)
∵BC=4,BC⊥AC,∴AC=3.
∵PB=10,M是PB的中点,∴MB=5.
∵△AMB为正三角形,∴AB=MB=5.…8分
∵BC=4,BC⊥AC,∴AC=3.
∴S△BCD=
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∵MD=
52−(
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由(1)知MD∥PA,∴MD⊥DC.
在△ABC中,CD=
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∴S△MCD=
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∴VM-BCD=VB-MCD=
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在Rt△PCB中,PC=
PB2−BC2 |
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故VP-ABC=
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∴四棱锥C-ADMP的体积=VP-ABC-VM-BCD=10
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