如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PC⊥BC，M为PB的中点，D为AB的中点，且△AMB为正三角形．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若BC=4，PB=10，求四棱锥C-ADMP的体积．

Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PC⊥BC，M为PB的中点，D为AB的中点，且△AMB为正三角形．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若BC=4，PB=10，求四棱锥C-ADMP的体积．

Answer 1

（1）证明：在正△AMB中，D是AB的中点，∴MD⊥AB．
∵M是PB的中点，D是AB的中点，∴MD∥PA，故PA⊥AB．
又PA⊥AC，AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABC，
∴PA⊥平面ABC．
∵BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，
又PC⊥BC，PA∩PC=P，PA，PC⊂平面PAC，
∴BC⊥平面PAC．…（8分）
（2）∵△AMB为正三角形，∴AB=MB=5．…（9分）
∵BC=4，BC⊥AC，∴AC=3．
∵PB=10，M是PB的中点，∴MB=5．
∵△AMB为正三角形，∴AB=MB=5．…8分
∵BC=4，BC⊥AC，∴AC=3．
∴S_△BCD=(1)/(2)S△ABC=(1)/(2)×(1)/(2)×3×4=3．…9分
∵MD=√(52−((5)/(2))2)=(5√(3))/(2)，
由（1）知MD∥PA，∴MD⊥DC．
在△ABC中，CD=(1)/(2)AB=(5)/(2)，
∴S_△MCD=(1)/(2)×(5√(3))/(2)×(5)/(2)=(25√(3))/(8)．…10分
∴V_M-BCD=V_B-MCD=(1)/(3)×3×(5√(3))/(2)=(5√(3))/(2)，
在Rt△PCB中，PC=√(PB2−BC2)=√(84)，PA=2MD=5√(3)
故V_P-ABC=(1)/(3)×(1)/(2)×AC×BC×PA=(1)/(3)×(1)/(2)×3×4×5√(3)=10√(3)
∴四棱锥C-ADMP的体积=V_P-ABC-V_M-BCD=10√(3)-(5√(3))/(2)=(15√(3))/(2)…12分．