求心形线r=a（1+cosθ）的全长，其中a＞0是常数．

Question

求心形线r=a（1+cosθ）的全长，其中a＞0是常数．

Answer 1

∵r=a（1+cosθ）
∴r′（θ）=-asinθ
∴ds＝√(r2(θ)+r′2(θ))dθ=√(2a2(1+cosθ))dθ＝2a√((1+cosθ)/(2))dθ=2a|cos(θ)/(2)|dθ
∴心形线的全长为：
s=2a

∫

2π 0

|cos(θ)/(2)|dθ＝2a

∫

π 0

cos(θ)/(2)dθ+2a

∫

2π π

(−cos(θ)/(2))dθ=4asin(θ)/(2)

|

π 0

−4asin(θ)/(2)

|

2π π

＝8a