球面内接三棱锥P-ABC,PA垂直平面ABC,PA=2,三角形ABC是边长为根号3的正三角形,则球面面积为多少?

Question

球面内接三棱锥P-ABC,PA垂直平面ABC,PA=2,三角形ABC是边长为根号3的正三角形,则球面面积为多少?

Answer 1

先求出正三角形的外接圆半径为1,圆心为O1（由边长求出中线长3/2,再乘以2/3,即为外接圆半径）
假设外接球圆心为O2,因为外接球圆心到四个顶点距离相等,故O2P=AO2,设O2F垂直AP于F
设半径为R,PF=x,则有
R^2=X^2+1
R^2=(2-X)^2+1
故R=√2,X=1
所以 外接球面积为 4πR^2=8π