椭圆x24+y2＝1的内接矩形的面积的最大值为．

Question

椭圆(x2)/(4)+y2＝1的内接矩形的面积的最大值为______．

Answer 1

由题意的方程可知：矩形的对角线的斜率存在．
设椭圆内接矩形一条对角线的方程为y=kx，不妨设k＞0．
联立

y＝kx

(x2)/(4)+y2＝1

，
化为（1+4k²）x²=4，取第一象限的顶点A（x，y），
解得x＝(2)/(√(1+4k2))，∴y＝(2k)/(√(1+4k2))．
∴内接矩形的面积S=2x•2y=4xy=4×(4k)/(1+4k2)=(16)/((1)/(k)+4k)≤(16)/(2√((1)/(k)•4k))=4．当且仅当k=(1)/(2)上取等号．
故椭圆(x2)/(4)+y2＝1的内接矩形的面积的最大值为4．
故答案为：4．