如图，已知平行四边形ABCD，AB=a，BC=b（a＞b），P为AB边上的一动点，直线DP交CB的延长线于Q，求AP+BQ的最小值．

Question

如图，已知平行四边形ABCD，AB=a，BC=b（a＞b），P为AB边上的一动点，直线DP交CB的延长线于Q，求AP+BQ的最小值．

Answer 1

设AP=x，则PB=a-x，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BQ，AD=BC=b，
∴△QBP∽△DAP，
∴(BQ)/(AD)=(BP)/(AP)，即(BQ)/(b)=(a−x)/(x)，
∴BQ=(ab−bx)/(x)=(ab)/(x)-b，
则AP+BQ=x+(ab)/(x)-b，
设AP+BQ=y，
∴y=x+(ab)/(x)-b，
整理得，x²-（b+y）x+ab=0，△=（b+y）²-4ab=（b-y）²≥0，
∵a，b，y都为正数，
∴b+y≥2√(ab)，即y≥2√(ab)-b，
所以AP+BQ的最小值为2√(ab)-b．