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已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0)B.(0,12)C.(0,1)D.(0,+∞)
题目详情
已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是( )
A. (-∞,0)
B. (0,
)
C. (0,1)
D. (0,+∞)
A. (-∞,0)
B. (0,
1 |
2 |
C. (0,1)
D. (0,+∞)
▼优质解答
答案和解析
函数f(x)=x(lnx-ax),则f′(x)=lnx-ax+x(
-a)=lnx-2ax+1,
令f′(x)=lnx-2ax+1=0得lnx=2ax-1,
函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,等价于f′(x)=lnx-2ax+1有两个零点,
等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点,
在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)
当a=
时,直线y=2ax-1与y=lnx的图象相切,
由图可知,当0<a<
时,y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点.
则实数a的取值范围是(0,
).
故选B.
1 |
x |
令f′(x)=lnx-2ax+1=0得lnx=2ax-1,
函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,等价于f′(x)=lnx-2ax+1有两个零点,
等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点,
在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)
当a=
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2 |
由图可知,当0<a<
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2 |
则实数a的取值范围是(0,
1 |
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故选B.
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