A为实对称矩阵,B为实反对称矩阵,A,B为可逆矩阵且AB=BA,求证：U=（A+B）(A-B)的逆矩阵为正交矩阵.

Question

A为实对称矩阵,B为实反对称矩阵,A,B为可逆矩阵且AB=BA,求证：U=（A+B）【(A-B)】的逆矩阵为正交矩阵.

Answer 1

A对称,所以：A^T = A （其中T表示转置）
B反对称,所以：B^T = -B
所以：
(A+B)^T = A-B
(A-B)^T = A+B
U=(A+B)(A-B)^(-1)
若要证U正交,只需证U^T U=E （其中E是单位矩阵）
U^T U = (A-B)(-T) (A+B)^(T) (A+B) (A-B)^(-1)
= (A+B)^(-1) (A-B) (A+B) (A-B)^(-1)
由于AB=BA,所以：
(A-B)(A+B) = A^2-B^2 = (A+B)(A-B)
所以：
U^T U = (A+B)^(-1) (A+B) (A-B) (A-B)^(-1) = E （E为单位矩阵）
证完了.
BTW：手机上百度知道时,极易忘记采纳答案.如果你用手机上百度知道,如果对答案满意,千万要先采纳,再关闭窗口哦.