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(2003•福州)已知关于x的方程x2-(k+1)x+k2+1=0(1)k取什么值时,方程有两个实数根;(2)如果方程的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2,求k的值.
题目详情
(2003•福州)已知关于x的方程x2-(k+1)x+
k2+1=0
(1)k取什么值时,方程有两个实数根;
(2)如果方程的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2,求k的值.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5882b2b7d0a20cf47b29e96f73094b36adaf99c0.jpg)
(1)k取什么值时,方程有两个实数根;
(2)如果方程的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2,求k的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)利用一元二次方程的根的判别式就可以得到关于k的不等式,解不等式即可求出k的取值范围;
(2)|x1|=x2,即方程的两根相等或互为相反数,当两根相等时判别式△=0;当方程的两根互为相反数时,两根的和是0,利用根与系数的关系可以得到关于k的方程,然后解方程即可求出k的值.
【解析】
(1)△=[-(k+1)]2-4(
k2+1)=2k-3,
∵△≥0,即2k-3≥0,
∴k≥
,
∴当k≥
时,方程有两个实数根;
(2)由|x1|=x2,
①当x1≥0时,得x1=x2,
∴方程有两个相等实数根,
∴△=0,即2k-3=0,k=
.
又当k=
时,有x1=x2=
>0
∴k=
符合条件;
②当x1<0时,得x2=-x1,
∴x1+x2=0
由根与系数关系得k+1=0,
∴k=-1,
由(1)知,与k≥
矛盾,
∴k=-1(舍去),
综上可得,k=
.
(2)|x1|=x2,即方程的两根相等或互为相反数,当两根相等时判别式△=0;当方程的两根互为相反数时,两根的和是0,利用根与系数的关系可以得到关于k的方程,然后解方程即可求出k的值.
【解析】
(1)△=[-(k+1)]2-4(
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a71ea8d3fd1f41341aa912ce201f95cad0c85ee7.jpg)
∵△≥0,即2k-3≥0,
∴k≥
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/2e2eb9389b504fc28be6a7b5e0dde71191ef6dc0.jpg)
∴当k≥
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d000baa1cd11728bd8b39b92cdfcc3cec2fd2ce7.jpg)
(2)由|x1|=x2,
①当x1≥0时,得x1=x2,
∴方程有两个相等实数根,
∴△=0,即2k-3=0,k=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bd315c6034a85edffb35e9934c540923dc5475c0.jpg)
又当k=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/dcc451da81cb39db055e70e6d5160924aa1830e7.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/810a19d8bc3eb135b47ea00ba31ea8d3fc1f44c0.jpg)
∴k=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/838ba61ea8d3fd1fcdb0b58a354e251f94ca5fc0.jpg)
②当x1<0时,得x2=-x1,
∴x1+x2=0
由根与系数关系得k+1=0,
∴k=-1,
由(1)知,与k≥
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/024f78f0f736afc3a89228d5b619ebc4b64512e7.jpg)
∴k=-1(舍去),
综上可得,k=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4610b912c8fcc3ce6079de839745d688d53f20c0.jpg)
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