如图，在△ABC中，己知AB=AC=5cm，BC=8cm，点P在边BC上沿B到C的方向以每秒1cm的速度运动（不与点B，C重合），点Q在AC上，且满足∠APQ=∠B，设点P运动时间为t秒，当△APQ是等腰三角形时，t=．

Question

如图，在△ABC中，己知AB=AC=5 cm，BC=8 cm，点P在边BC上沿B到C的方向以每秒1 cm的速度运动（不与点B，C重合），点Q在AC上，且满足∠APQ=∠B，设点P运动时间为t秒，当△APQ是等腰三角形时，t=___．

Answer 1

①如图1中，当PA=PQ时，作AF⊥BC于F，PE⊥AC于E．

∵AB=AC=5，AF⊥BC，BC=8，
∴BF=CF=4，∠B=∠C，
∵∠APC=∠B+∠BAP=∠APQ+∠QPC，
∵∠APQ=∠B，
∴∠BAP=∠QPC，
∴△BAP∽△CPQ，
∴(AB)/(PC)=(BP)/(CQ)，
∴(5)/(8-t)=(t)/(CQ)，
∴CQ=(t(8-t))/(5)，
∵PA=PQ，PE⊥AQ，
∴AE=EQ=(1)/(2)[5-(t(8-t))/(5)]，
∵cos∠C=(EC)/(PC)=(4)/(5)，
∴((t(8-t))/(5)+(1)/(2)[5-(t(8-t))/(5)])/(8-t)=(4)/(5)，
解得t=3或13（舍弃）
②如图2中，当QA=QP时，作PE⊥AC于E．

∵QA=QP，
∴∠QAP=∠QPA=∠C，
∴PA=PC，∵PE⊥AC，
∴AE=EC=(5)/(2)，
由cos∠C=(EC)/(PC)=(4)/(5)，得到((5)/(2))/(8-t)=(4)/(5)，解得t=(39)/(8)，
综上所述，t=3秒或(39)/(8)秒时，△PQA是等腰三角形．
故答案为3秒或(39)/(8)秒．