如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．（1）证明：CF⊥平面MDF；（2

Question

如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．
（1）证明：CF⊥平面MDF；
（2）求三棱锥M-CDE的体积．

Answer 1

（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PCD，
∴平面PCD⊥平面ABCD；
又平面PCD∩平面ABCD=CD，MD⊂平面ABCD，MD⊥CD，
∴MD⊥平面PCD，CF⊂平面PCD，∴CF⊥MD；
又CF⊥MF，MD、MF⊂平面MDF，MD∩MF=M，
∴CF⊥平面MDF；
（2）∵CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF，
又∵∠PCD=60°，∴∠CDF=30°，∴CF=(1)/(2)CD=(1)/(2)；
∵EF∥DC，∴(DE)/(DP)=(CF)/(CP)，即(DE)/(√(3))=((1)/(2))/(2)，
∴DE=(√(3))/(4)，∴PE=(3√(3))/(4)，
∴S_△CDE=(1)/(2)CD•DE=(√(3))/(8)；
MD=√(ME2−DE2)=

作业帮用户 2017-10-29

问题解析

（1）要证CF⊥平面MDF，只需证CF⊥MD，且CF⊥MF即可；由PD⊥平面ABCD，得出平面PCD⊥平面ABCD，即证MD⊥平面PCD，得CF⊥MD；
（2）求出△CDE的面积S_△CDE，对应三棱锥的高MD，计算它的体积V_M-CDE．

名师点评

本题考点：

直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：

本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，解题时应结合图形，明确线线垂直、线面垂直以及面面垂直的相互转化关系是什么，几何体的体积计算公式是什么，是中档题．

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