如图，边长为5的菱形ABCD中，cosA=35，点P为边AB上一点，以A为圆心，AP为半径的A与边AD交于点E，射线CE与A另一个交点为点F．（1）当点E与点D重合时，求EF的长；（2）设AP=x，CE=y，求y关于x的

Question

如图，边长为5的菱形ABCD中，cosA=(3)/(5)，点P为边AB上一点，以A为圆心，AP为半径的 A与边AD交于点E，射线CE与 A另一个交点为点F．

（1）当点E与点D重合时，求EF的长；
（2）设AP=x，CE=y，求y关于x的函数关系式及定义域；
（3）是否存在一点P，使得

EF

=2

PE

？若存在，求AP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）过点A作AH⊥EF于点H，
∴EF=2EH，
∵点E与点D重合，
∴EF∥AB，
∴∠AEF=DAB，
∴cos∠DAB=cos∠AEF=(EH)/(AE)=(3)/(5)，
∵AE=5，
∴EH=3，
∴EF=6；
（2）如图，
过点C作CG⊥AD，
在Rt△CGD中，cos∠CGD=cos∠BAD=(3)/(5)，
∴DG=3，CG=4，
在Rt△CGE中，GE=8-x，
∴y²=16+（8-x）²，
y=√(x2-16x+80)（0<x≤5），
（3）∵cos∠DAB=(3)/(5)，
∴tan∠DAB=(4)/(3)，
∵∠GCE=∠HAE=∠DAB，
∴tan∠DAB=(8-x)/(4)=(4)/(3)，
∴x=(8)/(3)，
即：AP的长为(8)/(3)．