（2009•宝山区一模）如图，已知正方形ABCD和EFCG，点E、F、G分别在线段AC、BC、CD上，正方形ABCD的边长为6．（1）如果正方形EFCG的边长为4，求证：△ABE∽△CAG；（2）正方形EFCG的边长为多少时

Question

（2009•宝山区一模）如图，已知正方形ABCD和EFCG，点E、F、G分别在线段AC、BC、CD上，正方形ABCD的边长为6．
（1）如果正方形EFCG的边长为4，求证：△ABE∽△CAG；
（2）正方形EFCG的边长为多少时，tan∠ABE×cot∠CAG=3．

Answer 1

（1）证明：∵正方形ABCD边长为6，正方形EFCG边长为4，
∴∠BAC=∠ACG，AB=6，AC=6√(2)，CG=4，EC=4√(2)．（2分）
∴AE=AC-EC=2√(2)．
∴(AB)/(AE)＝(AC)/(CG)．（2分）
在△ABE和△CAG中
∠BAC=∠ACG，(AB)/(AE)＝(AC)/(CG)，
∴△ABE∽△CAG．（1分）

（2）设正方形EFCG的边长为x，则BF=6-x，
连接FG交AC于点H，
可得GH⊥AC，GH＝(√(2))/(2)x，AH＝6√(2)−(√(2))/(2)x，
tan∠CAG=(GH)/(AH)=((√(2))/(2)x)/(6√(2)−(√(2))/(2)x)=(x)/(12−x)，（2分）
∵AB∥EF，
∴∠ABE=∠BEF，
∴tan∠ABE=(BF)/(EF)=(6−x)/(x)．（1分）
∵tan∠ABE=3tan∠CAG，
∴(6−x)/(x)=(3x)/(12−x)，（1分）
∴x₁=-12（舍去），x₂=3，
∴当正方形EFCG的边长为3时，tan∠ABE=3tan∠CAG．（1分）