已知AB=2a，在以AB为直径的半圆上有一点C，设AB中点为O，∠AOC=60°．(1)在上取一点P，若∠BOP=2θ，把PA+PB+PC表示成θ的函数；(2)设f(θ)=PA+PB+PC，当θ为何值时f(θ)有最大值，最大值是多少？

Question

已知AB=2a，在以AB为直径的半圆上有一点C，设AB中点为O，∠AOC=60°．
(1)在上取一点P，若∠BOP=2θ，把PA+PB+PC表示成θ的函数；
(2)设f(θ)=PA+PB+PC，当θ为何值时f(θ)有最大值，最大值是多少？____

Answer 1

【分析】(1)在三角形中使用余弦定理求出PA、PB、PC的长度，使用二倍角公式及两角和差的三角公式进行化简；
\n(2)利用两角和差的三角公式进一步化简f(θ)的解析式到关于某一个角的正弦函数的形式，利用正弦函数的最值，求出f(θ)的最大值，并求出此时θ的值．

(1)由题意知，AB为直径的半圆的半径为a，0°<2θ<120°，
\n∴0°≤θ≤60°，
\nΔPAO中，由余弦定理得 PA==2acosθ，
\n同理可求得 PB==2asinθ，
\nPC==2asin(60°-θ)，
\n∴PA+PB+PC=2asinθ+2acosθ+2asin(60°-θ)
\n=2asinθ+2acosθ+2a(cosθ-sinθ)
\n=asinθ+(2+)acosθ．
\n(2)f(θ)=PA+PB+PC
\n=asinθ+(2+)acosθ
\n=2a (sinθ+cosθ).
\n令cosα=，sinα=，
\n则f(θ)=2asin(θ+α)，
\n取锐角α，则α=arcsin>45°，
\n故 当θ=90°-arcsin时，sin(θ+α)=1取得最大值，
\n此时，f(θ)取最大值 2a．

【点评】本题考查余弦定理、二倍角的余弦公式、两角和差的三角公式的应用，以及利用正弦函数的有界性求函数的最值，要注意θ的范围．