如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=45，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．

Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=(4)/(5)，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．

（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．

Answer 1

（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴sinA=(BC)/(AB)=(4)/(5)，
而BC=8，
∴AB=10，
∵D是AB中点，
∴CD=(1)/(2)AB=5；
（2）在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，
∴AC=√(AB2-BC2)=6，
∵D是AB中点，
∴BD=5，S_△BDC=S_△ADC，
∴S_△BDC=(1)/(2)S_△ABC，即(1)/(2)CD•BE=(1)/(2)•(1)/(2)AC•BC，
∴BE=(6×8)/(2×5)=(24)/(5)，
在Rt△BDE中，cos∠DBE=(BE)/(BD)=((24)/(5))/(5)=(24)/(25)，
即cos∠ABE的值为(24)/(25)．