已知如图半圆O的半径OA=4，P是OA延长线上一点，过线段OP的中点B作垂线交O于点C，射线PC交O于点D，联结OD．（1）若AC=CD，求∠COD的度数；（2）若AC=CD，求弦CD的长；（3）若点C在AD上时，设PA=

Question

已知如图半圆O的半径OA=4，P是OA延长线上一点，过线段OP的中点B作垂线交 O于点C，射线PC交 O于点D，联结OD．

（1）若

AC

=

CD

，求∠COD的度数；
（2）若

AC

=

CD

，求弦CD的长；
（3）若点C在

AD

上时，设PA=x，CD=y，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．

Answer 1

（1）连接OC，如图1，
∵BC⊥PO，PB=OB，
∴CP=CO，
∴∠P=∠COP，
∵

AC

=

CD

，
∴∠DOC=∠COP，
在△COD中，2∠DCO+∠DOC=180°，
∵∠DCO=∠P+∠COP=2∠COP=2∠DOC，
∴5∠DOC=180°，
∴∠DOC=36°；

（2）∵

AC

=

CD

，
∴∠DOC=∠COP，
∵BC垂直平分OP，
∴PC=OC=4，
∴∠P=∠POC=∠DOC，
∴△DOC∽△DPO，
∴(DO)/(DP)=(DC)/(DO)，
  设CD=y，则16=（y+4）y，解得：y=2√(5)-2，
即CD的长为2√(5)-2；

（3）延长PO交圆于Q点，连结AC，如图2，
∵∠PQD+∠ACD=180°，
∴∠PCA=∠PQD，
∵∠P=∠P，
∴△PCA∽△PQD，
∴(PC)/(PQ)=(PA)/(PD)，
∴4（4+y）=x（x+8），
∴y=(x2+8x-16)/(4) （4√(2)-4<x<4）．