排列组合问题,小球和箱子类的问题,8个相同小球,3个相同箱子,每个箱子至少有一个小球,问共有几种排法?(C(2,7)+3*3)/A33,问为啥是这么算的,8个相同小球,3个相同箱子,共有几种排法?

Question

排列组合问题,小球和箱子类的问题,
8个相同小球,3个相同箱子,每个箱子至少有一个小球,问共有几种排法?
(C(2,7)+3*3)/A33,问为啥是这么算的,
8个相同小球,3个相同箱子,共有几种排法?

Answer 1

把8个小球排成一排,其间的缝隙看作切割点,共有(8-1)个切割点,任选两个切割点,都可以将8个小球分成不同的3份,且每份至少为1；
刚才的切割是把3份小球看做是有序的.
先假设分成的3份每份小球个数都不同,对于每种排列,交换箱子的顺序,都可得到A(3,3)种不同的排列,又因为3个箱子是相同的,因此这A(3,3)种排列可看做相同的,即由切割产生的排列中有1/A(3,3)种是不同的.
但考虑到(1,1,6)这样有两箱相同的分割,通过交换箱子的顺序,只能得到3种不同的排列,因此,如果要对切割数进行乘1/A(3,3)操作需要补足这几种排列的个数,共有3种这样的分割,因此要加3*3.