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已知an=3n,bn=3n,n∈N*,对于每一个k∈N*,在ak与ak+1之间插入bk个3得到一个数列{cn}.设Tn是数列{cn}的前n项和,则所有满足Tm=3cm+1的正整数m的值为.
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已知an=3n,bn=3n,n∈N*,对于每一个k∈N*,在ak与ak+1之间插入bk个3得到一个数列{cn}.设Tn是数列{cn}的前n项和,则所有满足Tm=3cm+1的正整数m的值为___.
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答案和解析
an=3n,bn=3n,
由题意知,c1=a1=3,c2=c3=c4=3,c5=a2=9,c6=c7=c8=c9=c10=c11=3,c12=a3=27,…,
则当m=1时,T1=3≠3c2=9,不合题意;
当m=2时,T2=6≠3c3=9,不合题意;
当m=3时,T3=9=3c4=9,适合题意.
当m≥4时,若cm+1=3,则Tm≥12≠3cm+1,不适合题意,
从而cm+1必是数列{an}中的某一项ak+1,
则Tm=a1+3+3+3+a2+3+3+3+3+3+3+a3+3+…+3+a4+3+…+a5+3+…+a6+…+ak-1+3+…+ak,
=(3+32+33+…+3k)+9[1+2+…+(k-1)]
=
+9•
=
,
又3cm+1=3ak+1=3×3k+1,
∴
=3×3k+1,即5×3k=3k2-3k-1,
上式显然无解.
即当m≥4时,Tm≠3cm+1,
综上知,满足题意的正整数m的值为3.
故答案为:3.
由题意知,c1=a1=3,c2=c3=c4=3,c5=a2=9,c6=c7=c8=c9=c10=c11=3,c12=a3=27,…,
则当m=1时,T1=3≠3c2=9,不合题意;
当m=2时,T2=6≠3c3=9,不合题意;
当m=3时,T3=9=3c4=9,适合题意.
当m≥4时,若cm+1=3,则Tm≥12≠3cm+1,不适合题意,
从而cm+1必是数列{an}中的某一项ak+1,
则Tm=a1+3+3+3+a2+3+3+3+3+3+3+a3+3+…+3+a4+3+…+a5+3+…+a6+…+ak-1+3+…+ak,
=(3+32+33+…+3k)+9[1+2+…+(k-1)]
=
3(1-3k) |
1-3 |
(1+k-1)(k-1) |
2 |
3k+1-3+9k2-9k |
2 |
又3cm+1=3ak+1=3×3k+1,
∴
3k+1-3+9k2-9k |
2 |
上式显然无解.
即当m≥4时,Tm≠3cm+1,
综上知,满足题意的正整数m的值为3.
故答案为:3.
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