抽象隐函数的求导一则u=f(ux,v+y)v=g(u-x,v^2*y)求uv对x的偏导

Question

抽象隐函数的求导一则
u=f(ux ,v+y)
v=g(u-x ,v^2 * y)
求u v对x的偏导

Answer 1

第1个式子对x求偏导得到
∂u/∂x=f1' *(u+x*∂u/∂x) +f2' *∂v/∂x
即∂u/∂x= (f1' *u + f2' *∂v/∂x) / (1- x*f1')
而第2个式子对x求偏导得到
∂v/∂x=g1' *(∂u/∂x -1) + g2' *2vy *∂v/∂x
即∂v/∂x=g1' *(∂u/∂x -1) / (1-g2' *2vy)
代入上式得到
∂u/∂x= [f1' *u + f2' *g1' *(∂u/∂x -1) / (1-g2' *2vy)] / (1- x*f1')
那么化简得到
∂u/∂x=
[f1' *u *(1-g2' *2vy) - f2' *g1'] / [(1- x*f1')*(1-g2' *2vy) - f2' *g1']
而
∂v/∂x=g1' *(∂u/∂x -1) / (1-g2' *2vy)
=g1' *[f1' *u *(1-g2' *2vy) - (1- x*f1')*(1-g2' *2vy)] / (1-g2' *2vy)