证明曲线x=e^tcost,y=e^tsint,z=e^t与圆锥面x^2+y^2=z^2的所有母线相交成等角.

Question

证明曲线x=e^t cost,y=e^t sint,z=e^t与圆锥面x^2+y^2=z^2的所有母线相交成等角.

Answer 1

圆锥母线参数方程是x=rcosa,y=rsina,z=r,r是参数,切向量为（cosa,sina,1）,题目曲线切向量为（e^t(cost--sint),e^t(sint cost),e^t),两条曲线相交时t=a,r=e^t=e^a,于是两个切向量为（cosa,sina,1）和e^a(cosa--sina,sina cosa,1),夹角容易计算出为arccos（根号(2/3)）.