如图，已知∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，点E在CD的延长线上，∠BAC=∠DAE．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）设AF是△ABC的BC边上的高，求证：EC=2AF．

Question

如图，已知∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，点E在CD的延长线上，∠BAC=∠DAE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）设AF是△ABC的BC边上的高，求证：EC=2AF．

Answer 1

（1）证明：∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
又∵∠ADE+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC与△ADE中，

∠BAC=∠DAE

AB=AD

∠ABC=∠ADE

，
∴△ABC≌△ADE（ASA）；
（2）证明：过点A作AM⊥CE，垂足为M，如图所示：
∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，∠BCA=∠E，
∴∠ACD=∠E，
∴∠BCA=∠ACD，
∵AM⊥CD，AF⊥CF，
∴AF=AM，
又∵∠BAC=∠DAE，
∴∠CAE=∠CAD+∠DAE=∠CAD+∠BAC=∠BAD=90°，
∵AC=AE，∠CAE=90°，
∴∠ACE=∠AEC=45°，
∵AM⊥CE，
∴∠ACE=∠CAM=∠MAE=∠E=45°，
∴CM=AM=ME，
又∵AF=AM，
∴EC=2AF．