如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足b＝a2−4+4−a2+16a+2．（1）求直线AB的解析式；（2）若点M为直线y=mx在第一象限上一点，且△ABM是等腰直角三角形，求m的值．（3

Question

如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足b＝(√(a2−4)+√(4−a2)+16)/(a+2)．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点M为直线y=mx在第一象限上一点，且△ABM是等腰直角三角形，求m的值．
（3）如图3过点A的直线y=kx-2k交y轴负半轴于点P，N点的横坐标为-1，过N点的直线y＝(k)/(2)x−(k)/(2)交AP于点M，给出两个结论：①(PM+PN)/(NM)的值是不变；②(PM−PN)/(AM)的值是不变，只有一个结论是正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值．

Answer 1

（1）要使b＝(√(a2−4)+√(4−a2)+16)/(a+2)有意义，
必须a²-4≥0，4-a²≥0，a+2≠0，
∴a=2，
代入得：b=4，
∴A（2，0），B（0，4），
设直线AB的解析式是y=kx+b，
代入得：

0＝2k+b

4＝b

，
解得：k=-2，b=4，
∴函数解析式为：y=-2x+4，
答：直线AB的解析式是y=-2x+4．

（2）如图2，分三种情况：

①如图1，当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作MN⊥y轴于N，
∵BM⊥BA，MN⊥y轴，OB⊥OA，
∴∠MBA=∠MNB=∠BOA=90°，
∴∠NBM+∠NMB=90°，∠ABO+∠NBM=90°，
∴∠ABO=∠NMB，
在△BMN和△ABO中

∠MNB＝∠BOA

∠NMB＝∠ABO

BM＝AB

，
∴△BMN≌△ABO（AAS），
MN=OB=4，BN=OA=2，
∴ON=2+4=6，
∴M的坐标为（4，6 ），
代入y=mx得：m=(3)/(2)，
②如图2
当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥x轴于N，△BOA≌△ANM（AAS），同理求出M的坐标为（6，2），m=(1)/(3)，
③如图4，
当AM⊥BM，且AM=BM时，过M作MN⊥X轴于N，MH⊥Y轴于H，则△BHM≌△AMN，
∴MN=MH，
设M（x，x）代入y=mx得：x=mx，
∴m=1，
答：m的值是

3

作业帮用户 2016-12-03

问题解析

（1）求出a、b的值得到A、B的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，代入得到方程组，求出即可；
（2）当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作MN⊥y轴于N，证△BMN≌△ABO（AAS），求出M的坐标即可；②当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥x轴于N，同法求出M的坐标；③当AM⊥BM，且AM=BM时，过M作MN⊥x轴于N，MH⊥y轴于H，证△BHM≌△AMN，求出M的坐标即可．
（3）设NM与x轴的交点为H，分别过M、H作x轴的垂线垂足为G，HD交MP于D点，求出H、G的坐标，证△AMG≌△ADH，△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，推出PN=PD=AD=AM代入即可求出答案．

名师点评

本题考点：

一次函数综合题；二次根式的性质与化简；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求正比例函数解析式；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

考点点评：

本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形性质，用待定系数法求正比例函数的解析式，全等三角形的性质和判定，二次根式的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．

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