x^2sin^2x（x方乘sinx方）的积分是多少啊要详解~~

Question

x^2sin^2x（x方乘sinx方）的积分是多少啊 要详解~~

Answer 1

思路
把sin^2x变成cos2x形式 然后分部积分
∫ x^2 sin^2x dx
= ∫ x^2 ( sin^2 x - 1/2 + 1/2 ) dx
= 1/2 ∫ x^2 ( - cos2x + 1 ) dx
= 1/2 ∫ x^2 dx - 1/2 ∫ x^2 cos2x dx
= 1/6 x^3 - 1/16 ∫ (2x)^2 cos2x (2x)' dx
= 1/6 x^3 - 1/16 ∫ (2x)^2 cos2x d(2x)
考虑 ∫ (2x)^2 cos2x d(2x)
设2x=t 则
∫ t^2 cost dt
= ∫ t^2 (sint)' dt
= t^2 sint - 2 ∫ t sint dt
= t^2 sint + 2 ∫ t (cost)' dt
= t^2 sint + 2 t cost - 2 ∫ cost dt
= t^2 sint + 2 t cost + 2 sint + C
于是
原式 = 1/6 x^3 - 1/4 x^2 sin2x - 1/4 x cos2x - 1/8 sin2x + C