证明两个数的和与积为自然数,则这两个数都是整数

Question

证明两个数的和与积为自然数,则这两个数都是整数

Answer 1

（i）两个数的和为自然数,则这两个数要么都是分数,要么都是整数（在此题中为自然数）
（ii） 对于（x^2-1）/(y+1) 与(y^2-1)/(x+1)的积有：
（x^2-1）/(y+1) *(y^2-1)/(x+1)=（x-1）*（y-1）,由于x与y是自然数,那么 （x-1）*（y-1）也是自然数.
对于两个分数的乘积,可写成：（a+1/m）*（b+1/n）=ab+a/n+b/m+1/mn,其中a、b、m、n均为整数.由于1/mn的存在,所以若两个数相乘得到的结果是整数,那么它们中至少有一个是整数.
对于本题而言,由于（x^2-1）/(y+1) 与(y^2-1)/(x+1)的乘积为整数（x-1）*（y-1）,因此他们中至少有一个是整数.
又因为在（i）中知（x^2-1）/(y+1) 与(y^2-1)/(x+1)要么同为整数,要么同为分数,因此可得出结论：（x^2-1）/(y+1) 与(y^2-1)/(x+1) 都是整数.证毕.
是否可以解决您的问题?