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(2014•南充)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③当m≠1时,a+b>am2+bm;④a-b+c>0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,x1+x2=2.其中正确的有()A.①②③B.
题目详情
(2014•南充)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图,下列结论:
①abc>0;②2a+b=0;③当m≠1时,a+b>am2+bm;④a-b+c>0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,x1+x2=2.
其中正确的有( )
A.①②③
B.②④
C.②⑤
D.②③⑤
①abc>0;②2a+b=0;③当m≠1时,a+b>am2+bm;④a-b+c>0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,x1+x2=2.
其中正确的有( )
A.①②③
B.②④
C.②⑤
D.②③⑤
▼优质解答
答案和解析
∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵抛物线对称轴为性质x=-
=1,
∴b=-2a>0,即2a+b=0,所以②正确;
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴c>0,
∴abc<0,所以①错误;
∵抛物线对称轴为性质x=1,
∴函数的最大值为a+b+c,
∴当m≠1时,a+b+c>am2+bm+c,即a+b>am2+bm,所以③正确;
∵抛物线与x轴的一个交点在(3,0)的左侧,而对称轴为性质x=1,
∴抛物线与x轴的另一个交点在(-1,0)的右侧
∴当x=-1时,y<0,
∴a-b+c<0,所以④错误;
∵ax12+bx1=ax22+bx2,
∴ax12+bx1-ax22-bx2=0,
∴a(x1+x2)(x1-x2)+b(x1-x2)=0,
∴(x1-x2)[a(x1+x2)+b]=0,
而x1≠x2,
∴a(x1+x2)+b=0,即x1+x2=-
,
∵b=-2a,
∴x1+x2=2,所以⑤正确.
故选:D.
∴a<0,
∵抛物线对称轴为性质x=-
b |
2a |
∴b=-2a>0,即2a+b=0,所以②正确;
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴c>0,
∴abc<0,所以①错误;
∵抛物线对称轴为性质x=1,
∴函数的最大值为a+b+c,
∴当m≠1时,a+b+c>am2+bm+c,即a+b>am2+bm,所以③正确;
∵抛物线与x轴的一个交点在(3,0)的左侧,而对称轴为性质x=1,
∴抛物线与x轴的另一个交点在(-1,0)的右侧
∴当x=-1时,y<0,
∴a-b+c<0,所以④错误;
∵ax12+bx1=ax22+bx2,
∴ax12+bx1-ax22-bx2=0,
∴a(x1+x2)(x1-x2)+b(x1-x2)=0,
∴(x1-x2)[a(x1+x2)+b]=0,
而x1≠x2,
∴a(x1+x2)+b=0,即x1+x2=-
b |
a |
∵b=-2a,
∴x1+x2=2,所以⑤正确.
故选:D.
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