在函数f（x）=alnx+（x+1）2（x＞0）的图象上任取两个不同点P（x1，y1），Q（x2，y2），总能使得f（x1）-f（x2）≥4（x1-x2），则实数a的取值范围为．

Question

在函数f（x）=alnx+（x+1）²（x＞0）的图象上任取两个不同点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），总能使得f（x₁）-f（x₂）≥4（x₁-x₂），则实数a的取值范围为______．

Answer 1

不妨设x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，
∵f（x₁）-f（x₂）≥4（x₁-x₂），
∴(f(x1)−f(x2))/(x1−x2)≥4，
∵f（x）=alnx+（x+1）²，（x＞0）
∴f′（x）=(a)/(x)+2（x+1）
∴(a)/(x)+2（x+1）≥4，
∴a≥-2x²+2x
∵-2x²+2x=-2（x-(1)/(2)）²+(1)/(2)≤(1)/(2)
∴a≥(1)/(2)，
故答案为：a≥(1)/(2)