如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，P、Q分别为AB、AC的点，且∠QPC=45°，PQ=BC，证明：BC=CQ．

Question

如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，P、Q分别为AB、AC的点，且∠QPC=45°，PQ=BC，证明：BC=CQ．

Answer 1

证明：在△AC内部做等边三角形DBC，连接DQ，DP，AD
∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°
∴∠ABC=∠ACB=75°
∵等边三角形DBC中
∴BC=DB=DC
∴∠DBC=∠DCB=60°
∴∠ABD=∠ACD=15°
在△ABD与△ACD中

AB=AC

AD=AD

BD=CD

∴△ABD≌△ACD（SAS）
∴∠BAD=∠CAD=15°
∴∠DBA=∠BAD，∠DAC=∠DCA
∴BD=AD=CD
∵∠BAC=30°，∠QPC=45°
∴∠AQP=∠QPC-∠BAC=15°
∴∠AQP=∠ABD
∴PQ∥BD
∵PQ=BC
∴PQ∥BD，PQ=BD
∴四边形BDPQ是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴BQ=DP，BQ∥DP（平行四边形两组对边分别相等且平行）
∴∠QPD=∠ABD=15°（平行四边形对角相等）
∴∠DPC=30°
∴∠DPC=∠PAQ=30°，∠DCP=∠PQA=15°
∴CD=QP
在△DPC与△PAQ中

∠DCP=∠PQA

∠DPC=∠PAQ

CD=QP

∴△DPC≌△PAQ（AAS）
∴DP=AP
在梯形AQDP中，AQ∥DP，PQ=BD=AD
∴DQ=AP（对角线相等的梯形是等腰梯形）
∴DP=DQ
∴BQ=DQ
在△BCQ与△DCQ中

QC=QC

BC=DC

BQ=DQ

∴△BCQ≌△DCQ（SSS）
∴∠BCQ=∠DCQ=30°
∵△BCQ中，∠DCQ=30°，∠CBQ=75°
∴∠CQB=75°=∠CBQ
∴BC=CQ