（2012•韶关一模）如图所示，足够长的金属导轨MN、PQ平行放置，间距为L，与水平面成θ角，导轨与定值电阻R1和R2相连，且R1=R2=R，R1支路串联开关S，原来S闭合．匀强磁场垂直导轨平面向上

Question

（2012•韶关一模）如图所示，足够长的金属导轨MN、PQ平行放置，间距为L，与水平面成θ角，导轨与定值电阻R₁和R₂相连，且R₁=R₂=R，R₁支路串联开关S，原来S闭合．匀强磁场垂直导轨平面向上，有一质量为m、有效电阻也为R的导体棒ab与导轨垂直放置，它与导轨的接触粗糙且始终接触良好，现让导体棒ab从静止开始释放，沿导轨下滑，当导体棒运动达到稳定状态时速率为V，此时整个电路消耗的电功率为重力功率的(3)/(4)．已知重力加速度为g，导轨电阻不计，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小和达到稳定状态后导体棒ab中的电流强度I；
（2）如果导体棒ab从静止释放沿导轨下滑x距离后运动达到稳定状态，在这一过程中回路中产生的电热是多少？
（3）导体棒ab达到稳定状态后，断开开关S，从这时开始导体棒ab下滑一段距离后，通过导体棒ab横截面的电量为q，求这段距离是多少？

Answer 1

（1）回路中的总电阻为：R_总=(3)/(2)R
当导体棒ab以速度V匀速下滑时棒中的感应电动势为：E=BLV
此时棒中的感应电流为：I=(E)/(R总)
此时回路的总电功率为：P_电=I²R_总
此时重力的功率为：P_重=mgVsinθ．
据题给条件有：P_电=(3)/(4)P重
解得：I=√((mgVsinθ)/(2R))，B=(3)/(2L)√((mgRsinθ)/(2V)) 
（2）设导体棒ab与导轨间的滑动摩擦力大小为f，根据能的转化和守恒定律可知：
   P_重=P_电+fV
则有 (1)/(4)mgVsinθ=fV
解得：f=(1)/(4)mgsinθ
导体棒ab减少的重力势能等于增加的动能、回路中产生的焦耳热以及克服摩擦力做功的和：
   mgsinθ•x=(1)/(2)mV2+Q+fx
解得：Q=(3)/(4)mgsinθ•x-(1)/(2)mV2
（3）S断开后，回路中的总电阻为：R_总′=2R
设这一过程经历的时间为△t，这一过程回路中的平均感应电动势为

.

E

，通过导体棒ab的平均感应电流为

.

I

，导体棒ab下滑的距离为S，则：
 

.

E

=(△Φ)/(△t)=(BLS)/(△t)，

.

I

=(.E)/(R总′)=(BLS)/(2R△t)
得：q=

.

I

△t=(BLS)/(2R)
解得：S=(4q)/(3)√((2VR)/(mgsinθ))
答：
（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小(3)/(2L)√((mgRsinθ)/(2V))，达到稳定状态后导体棒ab中的电流强度I为√((mgVsinθ)/(2R))；
（2）如果导体棒ab从静止释放沿导轨下滑x距离后运动达到稳定状态，在这一过程中回路中产生的电热是(3)/(4)mgsinθ•x-(1)/(2)mV2；
（3）导体棒ab达到稳定状态后，断开开关S，从这时开始导体棒ab下滑一段距离后，通过导体棒ab横截面的电量为q，这段距离是(4q)/(3)√((2VR)/(mgsinθ))．