在已知抛物线y=x2上存在两个不同的点M、N关于直线y=kx+92对称，则k的取值范围为（-∞，-14）∪（14，+∞）（-∞，-14）∪（14，+∞）．

Question

在已知抛物线y=x²上存在两个不同的点M、N关于直线y=kx+(9)/(2)对称，则k的取值范围为

（-∞，-(1)/(4)）∪（(1)/(4)，+∞）

（-∞，-(1)/(4)）∪（(1)/(4)，+∞）

．

Answer 1

设MN的方程为x+ky+c=0  （k≠0）
代入y=x²
y=（ky+c）²
k²y²+（2kc-1）y+c²=0
判别式△=（2kc-1）²-4k²c²＞0，
-4kc+1＞0，2kc＜(1)/(2)，
MN中点纵坐标(1−2kc)/(2k2)，横坐标(2kc−1)/(2k)−c＝−(1)/(2k)，
∵中点在y=kx+(9)/(2)上
∴(1−2kc)/(2k2)=k•(−(1)/(2k))+(9)/(2)=4
1-2kc=8k²
2kc=1-8k²＜(1)/(2)
∴8k²＞(1)/(2)，k²＞(1)/(16)，
解得k＞(1)/(4)或k＜-(1)/(4)．
∴k的取值范围为（-∞，-(1)/(4)）∪（(1)/(4)，+∞）．
故答案为：（-∞，-(1)/(4)）∪（(1)/(4)，+∞）．