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已知函数f(x)=sin2x+2cos2x+m在区间[0,]上的最大值为6(1)求常数m的值及函数f(x)图象的对称中心;(2)作函数f(x)关于y轴的对称图象得函数f1(x)的图象,再把函数f1(x)的图象向右

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已知函数f(x)=sin2x+2cos2x+m在区间[0,]上的最大值为6
(1)求常数m的值及函数f(x)图象的对称中心;
(2)作函数f(x)关于y轴的对称图象得函数f1(x)的图象,再把函数f1(x)的图象向右平移个单位得函数f2(x)的图象,求函数f2(x)的单调递减区间.
▼优质解答
答案和解析
(1)利用二倍角公式,两角和的正弦函数化简函数的表达式,通过函数f(x)=sin2x+2cos2x+m在区间[0,]上的最大值为6,求出m的值.即可求出函数的对称中心.
(2)求出函数f1(x)的表达式,再把函数f1(x)的图象向右平移个单位得函数f2(x)的图象对应的表达式,利用余弦函数的单调减区间求函数f2(x)的单调递减区间.
【解析】
(1)函数f(x)=sin2x+2cos2x+m=sin2x+cos2x+1+m=2sin(2x+)+1+m,函数f(x)=sin2x+2cos2x+m在区间[0,]上的最大值为6,所以m=3,函数的表达式为f(x)=2sin(2x+)+4;它的对称中心为(,0),k∈Z.
(2)函数f(x)关于y轴的对称图象得函数f1(x)=2sin(-2x+)+4的图象,函数f1(x)的图象向右平移个单位得函数f2(x)=2sin(-2x++)+4=2cos(2x-)+4的图象;
函数f2(x)的单调递减区间为:2kπ≤2x-≤2kπ+π,kπ≤x≤kπ+  k∈Z.