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已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),且经过直线y=x-2与x轴的交点B及与y轴的交点C.(1)求抛物线的解析式;(2)求抛物线的顶点坐标;(3)若点M在第四象限内的抛物线上,且OM⊥BC,垂足

题目详情
已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),且经过直线y=x-2与x轴的交点B及与y轴的交点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求抛物线的顶点坐标;
(3)若点M在第四象限内的抛物线上,且OM⊥BC,垂足为D,求点M的坐标及四边形OBMC的面积.
▼优质解答
答案和解析
(1)把y=0代入y=x-2得x-2=0,解得x=2,则B点坐标为(2,0);
把x=0代入y=x-2得y=-2,则C点坐标为(0,-2),
根据题意得
a−b+c=0
4a+2b+c=0
c=−2
,解得
a=1
b=−1
c=−2.

所以所求抛物线的解析式是y=x2-x-2;
(2)y=x2-x-2=(x-
1
2
2-
9
4

所以抛物线的顶点坐标为(
1
2
,-
9
4
);
(3)∵OC=OB,
∴△OBC为等腰直角三角形,
∴OM的解析式为y=-x,
设M(x,-x),
∵点M在抛物线上,
∴x2-x-2=-x,
解得x1=
2
,x2=
2

∵点M在第四象限,
∴M点坐标为(
作业帮用户 2017-10-15
问题解析
(1)先根据坐标轴上点的坐标特征确定B(2,0),C(0,-2),然后利用待定系数法确定二次函数解析式;
(2)把(1)的解析式y=x2-x-2配成顶点式得y=(x-
1
2
2-
9
4
,然后根据二次函数的性质确定顶点坐标;
(3)由于△OBC为等腰直角三角形,而OM⊥BC,则OM的解析式为y=-x,可设M(x,-x),把它代入二次函数解析式得x2-x-2=-x,解得x1=
2
,x2=
2
.则M点坐标为(
2
,-
2
),然后计算出OM=2,BC=2
2

再利用三角形面积公式计算四边形OBMC的面积.
名师点评
本题考点:
待定系数法求二次函数解析式;二次函数的性质.
考点点评:
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.
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