半径为1的球内切于一圆锥，则圆锥体积的最小值为（）A．2πB．8π3C．3πD．11π3

Question

半径为1的球内切于一圆锥，则圆锥体积的最小值为（　　）

A．2π
B．(8π)/(3)
C．3π
D．(11π)/(3)

Answer 1

设母线与底面的夹角2α，底面半径R，内切球半径r=1，圆锥的高h 则：R=r•cotα=cotα，h=R•tan2α=cotα•tan2α=(2)/(1−tan2α)，
圆锥的体积V=(1)/(3)πR2h=(1)/(3)π ×((1)/(tanα))2×(2)/(1−tan2α)
=(2π)/(3)×(1)/((tan2α)(1−tan2α))，
而2α＜90°，α＜45°，所以：tanα＜1，1-tan²α＞0 又因为：tan²α+（1-tan²α）=1=定值
所以：当tan²α=1-tan²α，即tanα=(√(2))/(2)时，V_最小=(2π)/(3)×(1)/((1)/(2)×(1)/(2))=(8π)/(3)．
故选B．