已知线性方程组x1+x2-2x3+3x4=02x1+x2-6x3+4x4=-13x1+2x2+px3+7x4=-1x1-x2-6x3-x4=t.，讨论参数p，t取何值时，方程组有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解．

Question

已知线性方程组

x1+x2-2x3+3x4=0

2x1+x2-6x3+4x4=-1

3x1+2x2+px3+7x4=-1

x1-x2-6x3-x4=t.

，讨论参数p，t取何值时，方程组有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解．

Answer 1

对增广矩阵作初等变换，有：

.

A

=

1	1	-2	3	⋮	0
2	1	-6	4	⋮	-1
3	2	p	7	⋮	-1
1	-1	-6	-1	⋮	t

→

1	1	-2	3	⋮	0
0	-1	-2	-2	⋮	-1
0	-1	p+6	-2	⋮	-1
0	-2	-4	-4	⋮	t

→

1	1	-2	3	⋮	0
	1	2	2	⋮	1
		p+8	0	⋮	0
				⋮	t+2

，
∴
①当t≠-2时，r(A)≠r(

.

A

)，故方程组无解，
②当t=-2时，无论p取何值，恒有r(A)=r(

.

A

)，故方程组有解，
③若p≠-8且t=-2，则r(A)=r(

.

A

)=3，
此时，

.

A

1	0	0	1	⋮	-1
	1	0	2	⋮	1
		1	0	⋮	0
				⋮	0

，
取x₄为自由变量，容易得通
η=（-1，1，0，0）^T+k（-1，-2，0，1）^T，其中k为任意常数，
④若p=-8且t=-2，则：r(A)=r(

.

A

)=2，
此时，

.

A

1	0	-	1	⋮	-1
	1	2	2	⋮	1
		0	0	⋮	0
				⋮	0

，
取x₃和x₄为自由变量，得通
η=(-1，1，0，0)T+k1(4，-2，1，0)T+k2(-1，-2，0，1)T，其中k₁，k₂为任意常数．