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已知线性方程组x1+x2-2x3+3x4=02x1+x2-6x3+4x4=-13x1+2x2+px3+7x4=-1x1-x2-6x3-x4=t.,讨论参数p,t取何值时,方程组有解、无解;当有解时,试用其导出组的基础解系表示通解.
题目详情
已知线性方程组
,讨论参数p,t取何值时,方程组有解、无解;当有解时,试用其导出组的基础解系表示通解.
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▼优质解答
答案和解析
对增广矩阵作初等变换,有:
=
→
→
,
∴
①当t≠-2时,r(A)≠r(
),故方程组无解,
②当t=-2时,无论p取何值,恒有r(A)=r(
),故方程组有解,
③若p≠-8且t=-2,则r(A)=r(
)=3,
此时,
,
取x4为自由变量,容易得通
η=(-1,1,0,0)T+k(-1,-2,0,1)T,其中k为任意常数,
④若p=-8且t=-2,则:r(A)=r(
)=2,
此时,
,
取x3和x4为自由变量,得通
η=(-1,1,0,0)T+k1(4,-2,1,0)T+k2(-1,-2,0,1)T,其中k1,k2为任意常数.
对增广矩阵作初等变换,有:
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A |
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∴
①当t≠-2时,r(A)≠r(
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A |
②当t=-2时,无论p取何值,恒有r(A)=r(
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A |
③若p≠-8且t=-2,则r(A)=r(
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A |
此时,
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A |
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取x4为自由变量,容易得通
η=(-1,1,0,0)T+k(-1,-2,0,1)T,其中k为任意常数,
④若p=-8且t=-2,则:r(A)=r(
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A |
此时,
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A |
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取x3和x4为自由变量,得通
η=(-1,1,0,0)T+k1(4,-2,1,0)T+k2(-1,-2,0,1)T,其中k1,k2为任意常数.
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