已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．（I）若函数F（x）=f（x）-g（x）有极值1，求a的值；（II）若函数G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）在区间（0，1）上为增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）证明

Question

已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．
（ I）若函数F（x）=f（x）-g（x）有极值1，求a的值；
（ II）若函数G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）在区间（0，1）上为增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）证明：

n

k＝1

sin(1)/((k+1)2)＜ln2．．

Answer 1

（ I）∵函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．
∴F（x）=ax-lnx，则 F′（x）=a-(1)/(x)，
∵函数F（x）=f（x）-g（x）有极值1，
∴F′（1）=0，
∴a-1=0，解得a=1；
（ II）∵函数G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）=asin（1-x）+lnx，
∴G′（x）=acos（1-x）×（-1）+(1)/(x)，
只要G′（x）＞0在区间（0，1）上大于0，
∴G′（x）=acos（1-x）×（-1）+(1)/(x)＞0，
∴a＜(1)/(xcos(1−x))，求(1)/(xcos(1−x))的最小值即可，
求h（x）=xcos（1-x）的最小值即可，0＜1-x＜1，
∵h′（x）=cos（1-x）+xsin（1-x）＞0，
∴h（x）在（0，1）增函数，
h（x）＜h（1）=1，
∴(1)/(xcos(1−x))的最小值为1，
∴a≤1；
（Ⅲ）∵0＜(1)/((k+1)2)＜1，
∵sinx＜x在x∈（0，1）上恒成立，
∴

n

k＝1

sin(1)/((k+1)2)=sin(1)/(22)+sin(1)/(23)+…+sin(1)/((n+1)2)≤(1)/(22)+(1)/(23)+…+(1)/((n+1)2)
＜(1)/(4)+(1)/(9)+(1)/(16)+(1)/(4×5)+(1)/(5×6)+…+(1)/(n(n+1))=(97)/(144)-(1)/(n+1)＜(97)/(144)＜ln2，
∴

n

k＝1

sin(1)/((k+1)2)＜ln2；