已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？

Question

已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？

Answer 1

如图为轴截面，令圆柱的高为h，
底面半径为r，侧面积为S，
则（(h)/(2)）²+r²=R²，
即h=2√(R2−r2)．
∵S=2πrh=4πr•√(R2−r2)
=4π√(r2•(R2−r2))
≤4π(r2+R2−r2)/(2)=2πR²，
当且仅当r²=R²-r²时取等号，此时内接圆柱底面半径为(√(2))/(2)R，高为√(2)R．