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证明方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一个正根,并且它不超过a+b
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证明方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一个正根,并且它不超过a+b
▼优质解答
答案和解析
证:令 f(x)=x-asinx-b,则函数f(x)在闭区间[0,a+b]上连续 ,则之后怎么求出来的?
答：因为x是R上连续函数,sinx也是R上连续函数,1也是,那么它们的线性组合也是R上连续函数
然后f(0)=-b=0
所以由零点定理在(0,a]上必然有一个解
且此解是正数
假设存在x>a+b使得x=asinx+b成立
那么asinx+b>a+b
asinx>a
sinx>1
矛盾
所以正根不超过a+b
证毕
答：因为x是R上连续函数,sinx也是R上连续函数,1也是,那么它们的线性组合也是R上连续函数
然后f(0)=-b=0
所以由零点定理在(0,a]上必然有一个解
且此解是正数
假设存在x>a+b使得x=asinx+b成立
那么asinx+b>a+b
asinx>a
sinx>1
矛盾
所以正根不超过a+b
证毕
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