如图，平面直角坐标系中，已知A（-2，0），B（2，0），C（6，0），D为y轴正半轴上一点，且∠ODB=30°，延长DB至E，使BE=BD．P为x轴正半轴上一动点（P在C点右边），M在EP上，且∠EMA=60°，AM交BE

Question

如图，平面直角坐标系中，已知A（-2，0），B（2，0），C（6，0），D为y轴正半轴上一点，且∠ODB=30°，延长DB至E，使BE=BD．P为x轴正半轴上一动点（P在C点右边），M在EP上，且∠EMA=60°，AM交BE于N．
（1）求证：BE=BC；
（2）求证：∠ANB=∠EPC；
（3）当P点运动时，求BP-BN的值．

Answer 1

（1）证明：∵A（-2，0），B（2，0），
∴AD=BD，AB=4，
∵∠ODB=30°，
∴∠ABD=90°-30°=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=4，
∵B（2，0），C（6，0），
∴BC=6-2=4，
∴BC=BD，
又∵BE=BD，
∴BE=BC；

（2）证明：由三角形的外角性质得，∠BAN+∠ANB=∠ABD=60°，
∠BAN+∠EPC=∠EMA=60°，
所以，∠ANB=∠EPC；

（3）∵BE=BD=BC，∠CBE=∠ABD=60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC=CE，
∵AB=BC=4，
∴AB=CE，
∵∠ABC=∠BCE=60°，
∴∠ABN=∠ECP=120°，
在△ABN和△ECP中，

∠ANB＝∠EPC

∠ABN＝∠ECP

AB＝CE

，
∴△ABN≌△ECP（AAS），
∴BN=CP，
∵BP-CP=BC，
∴BP-BN=BC=4，
故BP-BN的值为4，与点P的位置无关．