如图，已知BC为半圆O的直径，AB=AF，AC与BF交于点M．过点A作AD⊥BC于点D交BM于点E，若EM=54，EDBD=34，求CD的长．

Question

如图，已知BC为半圆O的直径，

AB

=

AF

，AC与BF交于点M．过点A作AD⊥BC于点D交BM于点E，若EM=(5)/(4)，(ED)/(BD)=(3)/(4)，求CD的长．

Answer 1

∵

AB

=

AF

，
∴∠ACB=∠EBA，
∵AB为直径，AD⊥BC，
∴∠ACB+∠DAC=∠BAE+∠DAC=90°，
∴∠BAE=∠ACB，
∴∠EBA=∠EAB，
∵∠BAE+∠EAM=∠EMA+∠ABE，
∴∠EAM=∠EMA，
∴AE=BE=EM=(5)/(4)，
∵(ED)/(BD)=(3)/(4)，
设ED=3x，BD=4x，在Rt△BDE中由勾股定理可得ED²+BD²=BE²，
即（3x）²+（4x）²=（(5)/(4)）²，解得x=(1)/(4)或-(1)/(4)（舍去），
∴DE=(3)/(4)，BD=1，AD=(3)/(4)+(5)/(4)=2，
在△ABD和△CAD中，∠ADB=∠CDA，∠BAD=∠ACD，
∴△ABD∽△CAD，
∴(AD)/(CD)=(BD)/(AD)，即(2)/(CD)=(1)/(2)，
∴CD=4．