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如图,已知BC为半圆O的直径,AB=AF,AC与BF交于点M.过点A作AD⊥BC于点D交BM于点E,若EM=54,EDBD=34,求CD的长.
题目详情
如图,已知BC为半圆O的直径,
=
,AC与BF交于点M.过点A作AD⊥BC于点D交BM于点E,若EM=
,
=
,求CD的长.
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AB |
![]() |
AF |
5 |
4 |
ED |
BD |
3 |
4 |
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▼优质解答
答案和解析
∵
=
,
∴∠ACB=∠EBA,
∵AB为直径,AD⊥BC,
∴∠ACB+∠DAC=∠BAE+∠DAC=90°,
∴∠BAE=∠ACB,
∴∠EBA=∠EAB,
∵∠BAE+∠EAM=∠EMA+∠ABE,
∴∠EAM=∠EMA,
∴AE=BE=EM=
,
∵
=
,
设ED=3x,BD=4x,在Rt△BDE中由勾股定理可得ED2+BD2=BE2,
即(3x)2+(4x)2=(
)2,解得x=
或-
(舍去),
∴DE=
,BD=1,AD=
+
=2,
在△ABD和△CAD中,∠ADB=∠CDA,∠BAD=∠ACD,
∴△ABD∽△CAD,
∴
=
,即
=
,
∴CD=4.
∵
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AB |
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AF |
∴∠ACB=∠EBA,
∵AB为直径,AD⊥BC,
∴∠ACB+∠DAC=∠BAE+∠DAC=90°,
∴∠BAE=∠ACB,
∴∠EBA=∠EAB,
∵∠BAE+∠EAM=∠EMA+∠ABE,
∴∠EAM=∠EMA,
∴AE=BE=EM=
5 |
4 |
∵
ED |
BD |
3 |
4 |
设ED=3x,BD=4x,在Rt△BDE中由勾股定理可得ED2+BD2=BE2,
即(3x)2+(4x)2=(
5 |
4 |
1 |
4 |
1 |
4 |
∴DE=
3 |
4 |
3 |
4 |
5 |
4 |
在△ABD和△CAD中,∠ADB=∠CDA,∠BAD=∠ACD,
∴△ABD∽△CAD,
∴
AD |
CD |
BD |
AD |
2 |
CD |
1 |
2 |
∴CD=4.
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