如图，在△ABC外作等腰直角△ABD与等腰直角△ACE，使得∠BAD=90°，∠CAE=90°，AH⊥BC，垂足为H，AH的反向延长线交DE于M，求证：DM=EM．

Question

如图，在△ABC外作等腰直角△ABD与等腰直角△ACE，使得∠BAD=90°，∠CAE=90°，AH⊥BC，垂足为H，AH的反向延长线交DE于M，求证：DM=EM．

Answer 1

证明：在BC上截取BF=AM，

∵∠BAD=∠CAE=∠AHB=∠AHC=90°，
∴∠BAH+∠ABC=∠BAH+∠DAM=∠CAH+∠BCA=∠CAH+∠EAM=90°，
∴∠CBA=∠DAM，∠BCA=∠EAM，
在△ABF和△ADM中，

AB=AD

∠CBA=∠DAM

AM=BF

，
∴△ABF≌△ADM，（SAS）
∴DM=AF，∠DMA=∠BFA，
∴∠EMA=∠CFA，
在△ACF和△AEM中，

∠EMA=∠CFA

∠BCA=∠EAM

AC=AE

，
∴△ACF≌△AEM（AAS），
∴GE=AF=GD．