求三角形MPQ面积的最大值设椭圆C1：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的左右焦点分别是F1，F2,下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），若抛物线C2:：y＝x^2－1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点。设M（

Question

求三角形MPQ面积的最大值
设椭圆C1：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的左右焦点分别是F1，F2,下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），若抛物线C2:：y＝x^2－1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点。设M（0，—4＼5）N为抛物线C2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求三角形MPQ面积的最大值。

Answer 1

根据题意有B(0,-1),结合抛物线的解析式,可以得到：F1(-1,0,),F2(1,0),A(0,-2).
所以c=1,b=2,
椭圆的方程为：x^2/5+y^2/4=1.
设N（m,m^2-1).
由导数可知道抛物线在N点的斜率=2m,所以抛物线的表达式为：
y-(m^2-1)=2m(x-m),化简得到：
y=2mx-m^2-1.
所以点M到直线PQ的距离d为：
d=|4/5-m^2-1|/√(1+4m^2)=(5m^2+1)/[5√(4m^2+1)].
设P(x1,y1),Q（x2,y2),
则有|PQ|=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]=√(4m^2+1)|x1-x2|=√(4m^2+1)√[(x1+x2)^2-4x1x2].
联立切线方程和椭圆方程,并化简关于x的方程,有韦达定理可得到：
x1+x2=5m(m^2+1)/(5m^2+1)
x1x2=[5(1+m^2)^2-20]/(4+20m^2)
进一步化简得到：
|PQ|=√(-5m^4+90m^2+15)/(1+5m^2)
所以三角形MPQ的面积为：
面积=（1/2）d |PQ|
=(1/10)√[-5（m^2-9)^2+420]
所以当m^2=9,三角形的面积最大,最大面积=（1/5）√105.