如图直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A（8，0）、B（0，6）两点，P为直线l上异于A、B两点之间的一动点．且PQ∥OA交OB于点Q．（1）若△PBQ和四边形OQPA的面积满足S四OQPA=3S△PBQ时，请你确定P点

Question

如图直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A（8，0）、B（0，6）两点，P为直线l上异于A、B两点之间的一动点．且PQ∥OA交OB于点Q．
（1）若△PBQ和四边形OQPA的面积满足S_四OQPA=3S_△PBQ时，请你确定P点在AB上的位置，并求出线段PQ的长；
（2）在x轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形，若存在，求出点M与P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵S_四OQPA=3S_△PBQ，
∴S_△BOA=4S_△PBQ，
又∵PQ∥OA
∴S_△BOA∽S_△PBQ，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，
可得S_△BOA与S_△PBQ的相似比为1：2
故(PQ)/(OA)=(1)/(2)
即PQ=(1)/(2)OA=4
（2）由（1）可知直线l的方程为3x+4y=24…（*）

①若△MPQ为等腰直角三角形，Q为直角顶点
则此时M点与原点重合，设Q点坐标为（0，a），则P点坐标为（a，a）
将P点坐标代入*得a=(24)/(7)
即M，P的坐标分别为（0，0）（(24)/(7)，(24)/(7)）
②若△MPQ为等腰直角三角形，P为直角顶点
设Q点坐标为（0，a），则P点坐标为（a，a），M点坐标为（a，0）
将P点坐标代入*得a=(24)/(7)
即M，P的坐标分别为（(24)/(7)，0）（(24)/(7)，(24)/(7)）
③若△MPQ为等腰直角三角形，M为直角顶点
则|OM|=|OQ|=(1)/(2)|PQ|
设Q（0，a），则M（a，0），点P坐标为（2a，a）
将P点坐标代入（*）式 得a=(12)/(5)．
∴点M、P的坐标分别为（(12)/(5)，0），（(24)/(5)，(12)/(5)）