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如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=4,点M是AD的中点,△MBC是等边三角形.(1)求证:梯形ABCD是等腰梯形;(2)动点P、Q分别在线段BC和MC上运动,且∠MPQ=60°保持不变.设PC=x,MQ=y,求y与
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如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=4,点M是AD的中点,△MBC是等边三角形.
(1)求证:梯形ABCD是等腰梯形;
(2)动点P、Q分别在线段BC和MC上运动,且∠MPQ=60°保持不变.设PC=x,MQ=y,求y与x的函数关系式;
(3)在(2)中:
①当动点P、Q运动到何处时,以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形?并指出符合条件的平行四边形的个数;
②当y取最小值时,判断△PQC的形状,并说明理由.
(1)求证:梯形ABCD是等腰梯形;
(2)动点P、Q分别在线段BC和MC上运动,且∠MPQ=60°保持不变.设PC=x,MQ=y,求y与x的函数关系式;
(3)在(2)中:
①当动点P、Q运动到何处时,以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形?并指出符合条件的平行四边形的个数;
②当y取最小值时,判断△PQC的形状,并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵△MBC是等边三角形,
∴MB=MC,∠MBC=∠MCB=60°.
∵M是AD中点,
∴AM=MD.
∵AD∥BC,
∴∠AMB=∠MBC=60°,∠DMC=∠MCB=60°.
∴△AMB≌△DMC.
∴AB=DC.
∴梯形ABCD是等腰梯形.
(2) 在等边△MBC中,MB=MC=BC=4,∠MBC=∠MCB=60°,∠MPQ=60°,
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°.
∴∠BMP=∠QPC.
∴△BPM∽△CQP.
∴
=
.
∵PC=x,MQ=y,
∴BP=4-x,QC=4-y.
∴
=
.
∴y=
x2-x+4.
(3) ①当BP=1时,则有BP
AM,BP
MD,
则四边形BPDM为平行四边形,
∴MQ=y=
×32-3+4=
.
当BP=3时,则有PC
AM,PC
MD,
则四边形APCM为平行四边形,
∴MQ=y=
×12-1+4=
.
∴当BP=1,MQ=
或BP=3,MQ=
时,
以P、M和A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形.此时平行四边形有2个.
②△PQC为直角三角形.
∵y=
(x-2)2+3,
∴当y取最小值时,x=PC=2.
∴P是BC的中点,MP⊥BC,而∠MPQ=60°,
∴∠CPQ=30°,
∴∠PQC=90°.
∴△PQC是直角三角形.
∴MB=MC,∠MBC=∠MCB=60°.
∵M是AD中点,
∴AM=MD.
∵AD∥BC,
∴∠AMB=∠MBC=60°,∠DMC=∠MCB=60°.
∴△AMB≌△DMC.
∴AB=DC.
∴梯形ABCD是等腰梯形.
(2) 在等边△MBC中,MB=MC=BC=4,∠MBC=∠MCB=60°,∠MPQ=60°,
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°.
∴∠BMP=∠QPC.
∴△BPM∽△CQP.
∴
PC |
BM |
CQ |
BP |
∵PC=x,MQ=y,
∴BP=4-x,QC=4-y.
∴
x |
4 |
4-y |
4-x |
∴y=
1 |
4 |
(3) ①当BP=1时,则有BP
| ||
. |
| ||
. |
则四边形BPDM为平行四边形,
∴MQ=y=
1 |
4 |
13 |
4 |
当BP=3时,则有PC
| ||
. |
| ||
. |
则四边形APCM为平行四边形,
∴MQ=y=
1 |
4 |
13 |
4 |
∴当BP=1,MQ=
13 |
4 |
13 |
4 |
以P、M和A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形.此时平行四边形有2个.
②△PQC为直角三角形.
∵y=
1 |
4 |
∴当y取最小值时,x=PC=2.
∴P是BC的中点,MP⊥BC,而∠MPQ=60°,
∴∠CPQ=30°,
∴∠PQC=90°.
∴△PQC是直角三角形.
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