如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．动点P、Q分别是在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）设PC为x，MQ=y，求

Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．动点P、Q分别是在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）设PC为x，MQ=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量取值范围；
（3）在（2）中，当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵△MBC是等边三角形，
∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°，
∵M是AD中点，
∴AM=MD
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．
∴△AMB≌△DMC，（2分）
∴AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形．（3分）

（2）在等边三角形MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，∠MPQ=60°，
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°，
∴∠BMP=∠QPC，
∴△BMP∽△CPQ，
∴PC：BM=CQ：BP（5分）
∵PC=x，MQ=y，则BP=4-x，QC=4-y，
∴(x)/(4)=(4−y)/(4−x)，
∴y=(1)/(4)x²-x+4（0＜x＜4）
（3）△PQC为直角三角形，
由（2）知，当MQ取最小值时，x=PC=2．
∴P是BC的中点，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，
∴∠CPQ=30°，
∴∠PQC=90°，
∴△PQC是直角三角形．