如图，在平面直角坐标系中，已知C（2，4），在x轴的负半轴上取点A（m-3，0），在x轴的正半轴上取点B（4m+2，0），O为原点，AC=BC．（1）求m的值；（2）动点P由点A出发沿AC向点C运动，同时点Q

Question

如图，在平面直角坐标系中，已知C（2，4），在x轴的负半轴上取点A（m-3，0），在x轴的正半轴上取点B（4m+2，0），O为原点，AC=BC．
（1）求m的值；
（2）动点P由点A出发沿AC向点C运动，同时点Q由点B出发，以与点P相同的速度沿射线CB方向运动，当点P到达点C时，两点运动同时停止，连接PQ交x轴于点G，作PE⊥x轴于点E，求EG的长．
（3）在（2）的条件下，以PQ为底边，在x轴的上方作等腰直角三角形，即PM=QM，∠M=90°，若△GCM的面积等于8，求点M的坐标．

Answer 1

（1）如图1，作CH⊥AB于H，
∵C（2，4），A（m-3，0），B（4m+2，0），
∴AH=2-（m-3）=5-m，BH=4m+2-2=4m，
∵AC=BC，
∴AH=KH，即5-m=4m，
解得m=1；

（2）如图1，作QK⊥x轴于K，
∵PE⊥AE，
∴∠BKQ=∠AEP=90°，
∵点Q由点B出发，以与点P相同的速度沿射线CB方向运动，
∴AP=BQ，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=∠KBQ
在△APE和△BQK中，

∠PAE=∠QBK

∠AEP=∠KBQ

AP=BQ

，
∴△APE≌△BQK（AAS），
∴PE=QK，AE=KB，
在△PEG和△QKG中，

∠PGE=∠QGK

∠PEG=∠QKG

PE=QK

，
∴△PEG≌△QKG（AAS），
∴EG=KG，
由（1）可得，m=1，
∴AO=2，BO=6，BK=AE=1，AB=2+6=8，
∴EG=(1)/(2)EK=(1)/(2)AB=4；

（3）如图2，作MN⊥y轴于N，连接CM，
∵△PEG≌△QKG，
∴PG=QG，
又∵PM=MQ，∠PMQ=90°，MG⊥PQ，
∴∠MQP=∠MPQ=∠GMQ=∠MQG=45°，
∴MG=GQ，
∵∠GMN+∠MGB=90°=∠QGK+∠MGK，
∴∠GMN=∠QGK，
在△MGN和△GQK中，

∠GMN=∠QGK

∠MNG=∠GKQ

MG=QG

，
∴△MGN≌△GQK（AAS），
∴GK=MN，
又∵GK=EG=4，C（2，4），
∴MN=4=CH，
∴CM∥x轴，
∴∠MCH=∠CHE=90°，
∵△GCM的面积等于8，
∴(1)/(2)×CM×MN=8，即2CM=8，
∴CM=4，
∴矩形MNHC中，HN=CM=2，
又∵OH=2，
∴ON=OH+HN=2+4=6，
∴M（6，4）．