如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（-2，4），直线x=-2与x轴相交于点B，连结OA，抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=-2交于点P，顶点M到A点时停止移动．（1）求线段OA所在直线的

Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（-2，4），直线x=-2与x轴相交于点B，连结OA，抛物线y=x²从点O沿OA方向平移，与直线x=-2交于点P，顶点M到A点时停止移动．

（1）求线段OA所在直线的函数解析式；
（2）设抛物线顶点M的横坐标为m，
①用m的代数式表示点P的坐标；
②当m为何值时，线段PB最短；
③当线段PB最短时，在抛物线对称轴的右侧是否存在一点Q，使△PMQ为直角三角形．

Answer 1

（1）设OA所在直线的函数解析式为y=kx，
∵A（-2，4），
∴-2k=4，
∴k=-2，
∴OA所在直线的函数解析式为y=-2x；
（2）∵顶点M在OA上，
∴M（m，-2m），
平移后的抛物线为y=（x-m）²-2m，
①当x_p=-2时，
y_p=（-2-m）²-2m
=4+4m+m²-2m
=m²+2m+4
=（m+1）²+3，
∴P（-2，m²+2m+4）；
②P_B=m²+2m+4=（m+1）²+3，
m=-1时，PB=3，此时PB最短；
③m=-1，PB=3最短，M（-1，2），P（-2，3），
当∠PMQ=90°，
P（-2，3），M（-1，2），则直线PM为y=-x+1，
可求出直线MQ为y=x+3，
则Q点坐标为

y=x+3

y=(x+1)2+2

，
∴Q₁（0，3）；
当∠MPQ=90°，
直线PQ为y=x+5，
∴Q点坐标为

y=x+5

y=(x+1)2+2

，
∴Q₂（1，6）．
即Q的坐标为Q₁（0，3），Q₂（1，6）．