在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sin2A+C2+cos2B=1（1）若b=13，a=3，求c的值；（2）设t=sinAsinC，当t取最大值时求A的值．

Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sin²(A+C)/(2)+cos2B=1
（1）若b=√(13)，a=3，求c的值；
（2）设t=sinAsinC，当t取最大值时求A的值．

Answer 1

（1）∵2sin²(A+C)/(2)+cos2B=1，
∴2cos²B+cosB-1=0
∴cosB=(1)/(2)（cosB=-1舍去），∴B=(π)/(3)
由余弦定理，可得13＝9+c2−2×3c×(1)/(2)
∴c²-3c-4=0
∴c=1或c=4
c=1时，c＜a＜b，C＜A＜B=(π)/(3)，与三角形内角和矛盾，舍去，∴c=4；
（2）t=sinAsinC=sinAsin（(2π)/(3)−A）=sinA（(√(3))/(2)cosA+(1)/(2)sinA）=(1)/(2)sin(2A−(π)/(6))+(1)/(4)，
∵A∈(0，(2π)/(3))，∴2A−(π)/(6)∈(−(π)/(6)，(7π)/(6))
∴sin(2A−(π)/(6))∈(−(1)/(2)，1]
∴当2A−(π)/(6)＝(π)/(2)，即A=(π)/(3)时，tmax＝(3)/(4)．