如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=3，BC=5，以AC为边在△ABC外作正△ACD，则BD的长为．

Question

如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=3，BC=5，以AC为边在△ABC外作正△ACD，则BD的长为______．

Answer 1

以AB为边作等边三角形AEB，连接CE，如图所示，

∵△ABE与△ACD都为等边三角形，
∴∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，
∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，

AE＝AB

∠EAC＝∠BAD

AD＝AC

，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴BD=EC，
∵∠EBA=60°，∠ABC=60°，
∴∠EBC=120°，
在△EBC中，BC=5，EB=3，
用余弦定理得：EC²=3²+5²-2×3×5×COS120°=49，
∴BD=EC=7．
故答案为：7．