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求证:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N*).
题目详情
求证:1 2 -2 2 +3 2 -4 2 +…+(2 n -1) 2 -(2 n ) 2 =- n (2 n +1)( n ∈N * ).
▼优质解答
答案和解析
利用数学归纳法来证明与自然数相关的命题,分为两步来进行。
分 析:
证明: ①n=1时,左边=12-22=-3,右边=-3,等式成立.②假设n=k时,等式成立,即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)2.当n=k+1时,12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1],所以n=k+1时,等式也成立.由①②得,等式对任何n∈N*都成立.
点评:
主要是考查了数学归纳法的运用,分为两步骤来进行,属于基础题。
分 析:
证明: ①n=1时,左边=12-22=-3,右边=-3,等式成立.②假设n=k时,等式成立,即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)2.当n=k+1时,12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1],所以n=k+1时,等式也成立.由①②得,等式对任何n∈N*都成立.
点评:
主要是考查了数学归纳法的运用,分为两步骤来进行,属于基础题。
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